子供 2 人のうち、1 人は火曜日生まれの男の子。もう 1 人も男の子である確率は？ 93
ストーリー by reo
答えは本家コメントにて 部門より
答えは本家コメントにて 部門より
ある Anonymous Coward 曰く、
本家 /. 記事にて、次のような数学のパズル問題が出題されている。
子供が二人いて、(少なくとも) 一人は火曜日生まれの男の子である。もう一人の子供も男の子である確率は ?
この問題は今年 3 月にアトランタで開催された、数学者や手品師、筋金入りのパズル家などが集う「Gathering for Gardner」という国際コンベンションにおいて、パズルデザイナー Gary Foshee 氏によって提示されたものとのこと。
「Gathering for Gardner」とは、数学者であり手品師でもあったマーティン・ガードナー氏を囲む会として隔年で開催されている会合である。なお、ガードナー氏は 2010 年 5 月 22 日、95 歳でその生涯を閉じている (/.J過去記事）。
各界の反応 (スコア:4, おもしろおかしい)
数学者「13/27です」
統計学者「およそ半分です」
言語学者「問題文が曖昧なので…」
医学者「男女の出生率でいうと男の方が若干多いので…」
整形外科医「…男と女、どっちにしたいんです？」
ヲ「男の娘でも、僕は十分イけます」
考えるのめんどくせぇ (スコア:4, おもしろおかしい)
考えるのめんどくせぇ。
こんなもんコンピュータにやらせればいいんだ。
～ 小一時間後 ～
よし、実行!
結果: 4/27
・・・バグってました。 orz
# デバッグしてちゃんと 13/27 になりました。
# 4/27 は「もう一人が月曜日に生まれた確率」でした。
マクロの基本は検索置換(by y.mikome)
JavaScript版シミュレータ (スコア:2)
http://tec.jpn.ph/tuesonsimulator.html [tec.jpn.ph]
SQL の場合 (スコア:1)
レスがあったんでプログラムを書いたページへのリンク張っておきます。
Microsoft SQL Server 2008用です。
http://kazamai-naruto.spaces.live.com/blog/cns!17D3E5D8390D408!246.entry [live.com]
マクロの基本は検索置換(by y.mikome)
日記のほうでも言われてたと思うが (スコア:3, すばらしい洞察)
どの段階で誕生日と性別をしらべたのか
が書いてなきゃダメでしょ。
Re:日記のほうでも言われてたと思うが (スコア:3, 参考になる)
Re:日記のほうでも言われてたと思うが (スコア:1, すばらしい洞察)
○の数/(○の数＋●の数)
が答えだといいたいんだろうけど、
問題の書き方が(英語の原文も)イマイチなので、
1/2が答えのようにも取れる。
□□男男男男男男男女女女女女女女
□□日月火水木金土日月火水木金土
男日・・○・・・・・・・・・・・
男月・・○・・・・・・・・・・・
男火○○○○○○○●●●●●●●
男水・・○・・・・・・・・・・・
男木・・○・・・・・・・・・・・
男金・・○・・・・・・・・・・・
男土・・○・・・・・・・・・・・
女日・・●・・・・・・・・・・・
女月・・●・・・・・・・・・・・
女火・・●・・・・・・・・・・・
女水・・●・・・・・・・・・・・
女木・・●・・・・・・・・・・・
女金・・●・・・・・・・・・・・
女土・・●・・・・・・・・・・・
以降、答えが13/27になるようにしか読み取れないように、
日本語できちんと問題を書くスレ。
...と思ったが、すでに#1788391が正しい問題文へのリンク貼ってるな。
Re:日記のほうでも言われてたと思うが (スコア:2)
1/2だと思って正解(?)を読んだ回答者がマジ切れして、火曜日生まれの男の子を殺害してしまいました。
さて、残った子ども１人が男の子である確率は？
＃もちろん、次の展開は、「そしてだれもいなくなった」です。
Re:日記のほうでも言われてたと思うが (スコア:1)
残念ながら、この二つのケースだと結果は同じ(13/27)になります。
日本でも (スコア:3, 参考になる)
日本でも話題になってましたね
Togetter - まとめ「条件付き確率の問題」
http://togetter.com/li/25071 [togetter.com]
Re: (スコア:0)
タレコミ人数学センスなさすぎ。
Re:日本でも (スコア:1)
# クライアントが出題してくるパズルを解く日々orz
Re:日本でも (スコア:1)
やっぱり問題文は非常に重要だと思います。
タレコミの問題文だと私は単に1/2と思いました
確かに、リンク先の形式で状況が良く分かりました。
が、私は男である確率がグッと上がるとは思いません。
曜日と性別という異なる属性なので、何となくもう一人も男の確率が
グッと上がるといわれたら納得しそうになりましたが、
2x7の14種類から重複を許してランダムに2つ選択というだけなので、
もう一人が男かつ火曜日である確率に変化を与える可能性は
否定できません（下に計算する通り、実際変化する）が、
もう一人が男かつ月曜日である確率と
女かつ火曜日である確率などは同じはずです。
グッと上がるとしたら、もう一人が男かつ火曜日という部分で
その確率を稼がないといけませんが、
グッとというのは感覚的に難しいのではないでしょうか？
私の理解で実際に計算してみた結果は、
N種類から重複を許した2つ選ぶと一般化して、
順番を考慮したペアのN^2通りが等確率
そのうちこちらが指定した種類が入っているパターンは
2N-1通りでそれぞれやはり等確率
このうちもう片方も最初に指定した種類である確率は
1/(2N-1)
これは1/Nよりも小さい
（もう片方がどの種類かは、その他の種類について全て等確率で2/(2N-1)）
今回の問題に当てはめれば、N=14で
もう1人が男かつ火曜日の確率はその他の確率に比べて小さくて1/27
その他は全て2/27
もう1人が男の確率は(1+2*6)/27=13/27
ではないかと思います。
ドアが3つあって、正解は1つだけ、司会者はどれが正解か知っている。
ゲストはドアが選んだ後、司会者は必ずはずれのドアを開ける。
その後、ゲストは選択したドアを変更出来る、
という問題に似ているんだと思うんですが、
その問題で重要なのは司会者が正解を知っているという部分だと理解しています。
が、この問題文にはそういうトリックが無いように思います。
午前生まれの男の子問題 (スコア:3, 参考になる)
# 少し簡略化してみます。
Q. 子供が二人いて、少なくとも一人は午前生まれの男の子である。もう一人の子供も男の子である確率は？（1/2の情報が加わったとき。午前と午後で生まれる確率は同じとします）
A. 3/7
・図解（▽|▼：男の子、△|▲：女の子。塗りつぶし記号が前提条件に当てはまるケース）
前提条件を満たす組み合わせは7つで、そのうち「▼▼」は3つです。
1/nの確率の情報が加わると、両方男の子である確率は「(2n-1)/(4n-1)」で表される訳ですね。（nが大きいほど確率は50%に近づく）
全ての組み合わせのうち、第一子が前提条件を満たすのが2n例、第二子が前提条件を満たすのも2n例ですが、交差する部分の「▼▼」のみ重複しているために分子からも分母からも取り除かれてしまう、と。
面白いですね。
Re:午前生まれの男の子問題 (スコア:1, 興味深い)
>1/nの確率の情報が加わると、両方男の子である確率は「(2n-1)/(4n-1)」で表される訳ですね。（nが大きいほど確率は50%に近づく）
情報を増やしていくと50%に近づいていくのが不思議ですね。
「自分には2人子供がいて、少なくとも1人は男の子」→もう1人が男の子の確率は1/3
「自分には2人子供がいて、少なくとも1人は男の子で午前中生まれ」→もう1人が男の子の確率は3/7
「自分には2人子供がいて、少なくとも1人は男の子で火曜日の午前中生まれ」→もう1人が男の子の確率は27/55
「自分には2人子供がいて、少なくとも1人は男の子で13日の火曜日の午前中生まれ」→もう1人が男の子の確率は839/1679（1ヶ月=30日として）
片方の男の子についての情報を聞き出せば聞き出すほどもう一方の子が男の子である確率が上がっていく…？
Re:午前生まれの男の子問題 (スコア:1)
>情報を増やしていくと50%に近づいていくのが不思議ですね。
これなんとか直感的で納得しやすい説明がないですかね？
情報量 [wikipedia.org]使うとか。
う～ん。情報量計算するには確率が必要か・・・。
条件付きだから独立じゃないし、情報量の加法性もなりたたないかな。
エントロピーはどうだろうか？
分からないや。
Re:午前生まれの男の子問題 (スコア:1)
情報が増えるだけでは確率は変わりません。
その情報を使って選択した場合に確率が変わります。
例えば、
の三つのケースが有った場合、もう一人が男の子である確率はそれぞれ異なります。
1.では“火曜生まれ”と“男の子”という条件で選択しており、この場合の確率は 13/27 です。
2.では“男の子”という条件のみで選択しており、この場合の確率は 1/3 です。
3.では選択の条件を付けていなく、この場合の確率は 1/2 です。
このように、どのような条件で選択したかという事が重要になります。
51.5%ぐらい (スコア:2, 参考になる)
昔テレビで，どの民族でも男の方が3%ぐらい多いっつってたから，
男である確率は51.5%にしよう．
# 問題の趣旨が分からんのにID．
Re:51.5%ぐらい (スコア:2, 興味深い)
曜日に関しては、日本のデータ [mhlw.go.jp]ですが、土曜日生まれは平日生まれより1割ほど、休日生まれは2、3割ほど少ないようです。
休日に日曜日以外も混ぜられてしまっていますが、昭和50年と平成16年のデータを合計すると、火曜日生まれは15.5%。
＃オフトピですが、そのリンク先の図で、第1子出生のピークが結婚6ヶ月にあるのが笑えるな。しかも増加傾向。そして、結婚10ヶ月のピークがなくなりつつある。
Re: (スコア:0)
種の生存本能から個体数が少ない場合は女性(メス)が多くなり、多い場合は優秀な遺伝子を選別するために男性(オス)が多くなると聞いたことがありますが本当でしょうか。
数学パズル(確率問題)なので (スコア:2)
判ってるとは思いますが、こういう場合はとりあえずは出生率は考えないと思いますw
# というか、それ気にしだすと、それぞれの子が生まれた年を考えて処理しないといけなくなると思うし。
# 一年の中の曜日の数が同じでないことや、出生時期の偏り(何月に多いとか、何曜日が多いとか)の統計値も考慮しなきゃだから、それはそれで難しいよね。
M-FalconSky (暑いか寒い)
問題文が良くないな (スコア:2, おもしろおかしい)
これなら少しはモチベーションがあがったんだが。。
〜昼の光に夜の闇の深さが分かるものか〜
Re: (スコア:0)
なにがどうしてモチベーションが上がるのかさっぱりわからないので、少し考えてみた
子供二人のうち一人が「男」の娘ということは、この「男」というのは父親のことで、ふつうにかんがえると二人ともこの父親の子供だろうと考えるのが妥当だろう。なのに
と訊くのはなんだろう、ふたりの父親であるこの「男」が母親がよそで姦通を行ってもう一人の娘を作ったのかもしれないと昼ドラの如く疑っているとでもいうのだろうか。
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ジャーゴンは他人に通じなくて当然といつも自戒するけれども、ついついやってしまうのでAC
ええと (スコア:2)
> 子供が二人いて、(少なくとも) 一人は火曜日生まれの男の子である。
> もう一人の子供も男の子である確率は ?
これは
「子供が二人いる場合に、少なくとも一人が火曜日生まれの男の子で
もう一人の子供も男の子である確率は？」
というふうに解釈すべきなの？
条件付き確率の問題ですね (スコア:1)
単に 約50%だったりして。
Re:条件付き確率の問題ですね (スコア:2)
父親が男だとか、母親が女とかいった条件を加えても話は同じ。
Re:条件付き確率の問題ですね (スコア:2, すばらしい洞察)
Re:条件付き確率の問題ですね (スコア:2, すばらしい洞察)
Good Point!!
まさにこれこそがこの問題の真のトラップ。実は独立な事象 ではない。火曜日という条件はこの「独立事象」という前提を崩すために存在する(しかも、一見独立事象のままであるかのように見せている)。
.
与えられた条件は「片方の子供が、男の子で火曜日生まれ」というもの。第1子が男の子で火曜日生まれなのか、第2子が男の子で火曜日生まれなのかは指定されていない。
第1子が火曜日生まれの男の子である可能性は 1/2、第2子が火曜日生まれの男の子である可能性は 1/2 だから、全体でも 1/2 … とはならない。
理由は簡単で上に書かれている通りに数えると、「第1子が火曜日生まれの男の子で、第2子が火曜日生まれの男の子である」場合を2度数えている。独立事象ならこのような「重複」は存在しない。
fjの教祖様
Re:条件付き確率の問題ですね (スコア:1)
原文を読めばその通りなのでしょうが、このタレコミ文を読む限りは独立な事象だと読めてしまうので、ネタばらしされても自分が勘違いしてたってよりも、後出しで屁理屈こねられたようにしか見えないってところが問題なんだと思います。
同意見なので、ここにぶら下げ (スコア:0)
#と思って、ラブプラスの勉強会に出てきたこれと似た問題に「1/2」と答えたら不正解でした orz
Re:同意見なので、ここにぶら下げ (スコア:2, 参考になる)
Q:コインを２枚投げて、どちらか１枚がすでに
表と分かっている時、もう１枚が表の確率を
求めなさい。
A:1/3
ですな。
核爆弾が落ちそう。
Re: (スコア:0)
「火曜日生まれ」の意味がわからん。
一般化 (スコア:1)
という状況ではない、のがポイントですね。
つまり、
二人の子供のうちどちらかは「男の子で火曜日生まれ」であることが
分かっているんだけど、それが「どっちなのか」はわからない
という状況だってことですね
一般化して n×m の場合 (n=2, m=7 の場合が今回の問題) を考えると、
・二つの独立な確率変数 X, Y があり、X, Y はともに
(1,1),(1,2),…,(1,m)
(2,1),(2,2),…,(2,m)
…
(n,1),(n,2),…,(n,m)
のnm 通りの値を取ることができ、それぞれの値を取る確率は 1/nm
である
・X, Y のどちらか一方が (1,1) であることがわかっている
(が、それがどちらであるかはわからない)とき、
他方が (1,1),(1,2)…(1,m)のいずれかである確率を求めよ
答
分母となる「X, Y のどちらか一方が (1,1)」が成り立つのは
X = (1,1) Y = 全て ：nm通り
Y = (1,1) X = (1,1)以外 ：(nm-1)通り
合計 (2nm-1) 通り
分子となる「X, Y のどちらか一方が (1,1)で他方が(1,*)」が成り立つのは
X = (1,1) Y = (1,1),(1,2)…(1,m) ：m通り
Y = (1,1) X = (1,2),(1,3)…(1,m) ：(m-1)通り
合計 (2m-1) 通り
(分母、分子ともに「X,Yが両方共 (1,1) である場合」が重複しないように
してるのがミソ)
なので、確率は
P = (2m-1)/(2nm-1)
例えば、元の問題を「もう一人が火曜生まれである確率を求めよ」にすると、
m=2, n=7 の場合なので、
P = (2×2-1)/(2×7×2-1) = 3/27 = 1/9
これでおｋ？ (スコア:0)
子供が二人いる場合、
男子 男子、男子 女子、女子 男子、女子 女子
の組み合わせがあるので、少なくとも一人が男子の場合は、３とおり。
したがって1/3の確率でもう一人は男子。
火曜生まれは？ 意味わからん？
＃男子男子男子男子女子男子男子男子♪♪
Re:これでおｋ？ (スコア:2, すばらしい洞察)
> 火曜生まれ
少なくとも一人は「男子かつ火曜生まれ」なので
「男月 男月」「男月 男火」「男月 男水」…
「男月 女月」「男月 男火」「男月 男水」…
「女月 男月」「女月 男火」「女月 男水」…
「女月 女月」「女月 女火」「女月 女水」…
のうち片方「男火」になってるものを拾って計算しなきゃならん、という話だと思う。
Re:これでおｋ？ (スコア:1)
------------
惑星ケイロンまであと何マイル？
Re: (スコア:0)
男女の出生率の差を考慮しなくて良いのかしらん？
つーか、そういう方向で考えるとパズルじゃなくなるな・・・。
Re: (スコア:0)
Re:これでおｋ？ (スコア:1)
男子-女子と女子-男子をわけるなら一人目が男子なので2通りになっちゃいますよ
「少なくとも一人は」。
「一人目は」ではないです。
Re: (スコア:0)
１人目でも２人目でも同じです
＃片方が固定されているため
Re:はずれ。 (スコア:1)
だけど、今回は「少なくともどちらか一方の子供が男だった」だから、はずれ。
親コメント通り、１／３になります。
単純に (スコア:0)
単純に新生児の男女比率に従うんじゃないの？
あ、その年になるまでの死亡率（というか生存率）の影響も受けるから、子供の年齢等の条件がないとわかりませんね・・・・
＃ってマジレスでいいのかな？
Re: (スコア:0)
サイコロと一緒で子供何人居ようが確率は出生比率に依存する
Re:単純に (スコア:1)
正確なサイコロが有ったとして, 過去10回の試行で1の目が10回出ました, 次に試行した時に1の目が出る確率は?
って問題ですね.
# 客が暴れて試行できませんでした
Re: (スコア:0)
実際の出生比率が 50:50 でないのはそのとおり。でもそれでもまだ間違い。
>「二人とも女の子」であるパターンは排除せよ
これが問題の主題です。
約50%というのは少なくとも間違いである (スコア:0)
原文はこうだ。
> "I have two children, one of whom is a boy born on a Tuesday. What's the probability that my other child is a boy?"
その人には二人の「子」がおり、そのうちの一人は火曜日生まれの「男の子」なのだという。
与えられた条件だけで考えるなら、もう一人がその誕生の時に「男の子」であった可能性は確かに約50%であろう。
しかし、質問は「男の子（boy）である確率」であり、その子が既に（boyではなく）成人である可能性を考慮すれば、
弟が「boy」であることとの年齢差の分布を考慮しても、その答えは50%を下回るはずである。
なお、「おれは男の子を育てていたと思ったらいつの間にか娘になっていた」というケースについては、
全く逆の可能性も考慮するなら相殺できよう。
Re: (スコア:0)
child って言ってるんだから，18歳以上という設定にはさすがに無理があるだろう？
可愛い子供だった場合，女の子のはずがないというバイアスを考慮する必要があるが。
Re:約50%というのは少なくとも間違いである (スコア:1)
秀吉である事象を考慮にいれてませんよね。
Re: (スコア:0)
原文はこうだ。
> "I have two children, one of whom is a boy born on a Tuesday. What's the probability that my other child is a boy?"
その人には二人の「子」がおり、そのうちの一人は火曜日生まれの「男の子」なのだという。
「子」ではなくて「チルドレン」と書いてある。
つまり、ここの「I have」と言っている「I」はNervの関係者である可能性が高い。
「a boy」であるのはセカンド、碇司令の息子と考えるのが妥当である（証明は余白が少ないので省く）。
もう一人のチルドレン
教育社 (スコア:0)
しかしこの記事の文面だと「火曜」の作用がないように読めてしまいますよ