まずokky氏が示せたのは十分条件の方ですよね？
必要条件を示すためには、n=3k+2では全て白になる
棒状の可能グラフが無いことを示す必要があります。
以下はその骨子（一部説明は端折ります）です。

まず，最初からある頂点をS₁，以後追加した順にS₂，S₃，……と書くものとします。
今，新たな頂点S₀を導入して，白のS₀と白のS₁及び二つの辺E₀=(S₀, S₁)及びE'₀=(S₁, S₀)からなる
環状のグラフを考えます。
これを初期状態として操作2のみを何回か適用して出来るグラフから，S₀とその両側の辺を取り除くと，
必ずS₁を初期状態として棒状に生成した可能グラフで一致するものが存在します。
この棒状の可能グラフは，環状グラフの辺(S₀, S_i)に対する操作2は棒状の可能グラフの頂点S_iに操作1を，
辺(S_i, S_j)（i,j≠0）に対する操作2はそのまま対応する辺(S_i, S_j)に操作2を適用すると生成できます。
棒状の可能グラフから環状グラフへの対応関係も同様の方法で定義できます。
従って，環状グラフへの操作2のみの適用を評価することで，棒状グラフの可能性を議論できます。

さて，棒状の可能グラフの頂点が全て白になるのは，環状グラフのS₀以外の全ての頂点が白になる場合です。
操作2では黒の頂点の個数の増減は常に偶数（2つ増える/2つ減る/変わらない）なので，
環状グラフの初期状態では黒の頂点は0個ですから，環状グラフでは常に黒の頂点は偶数個になります。
従ってS₀以外の全ての頂点が白の場合，S₀も白になります。

次に，この環状グラフの辺にも色（例えば赤と青）をつけることを考えます。
まず，初期状態の二つの辺をどちらも青とします。
また，操作2によって青い辺は二つの赤い辺に，赤い辺は二つの青い辺にそれぞれ置き換えられるものとします。
この時，環状グラフの頂点から出る辺が一つ置き換えられて色が変わった時，その頂点の色も変わります。
初期状態の二つの頂点も操作2で追加される頂点も最初は白でそこから出る二つの辺の色は同じ色で始まります。
最初白い点はそこから出る二つの辺の色が変わった回数が偶数の場合は白に，奇数の場合は黒になります。
最初同じ色の二つの辺は色が変わった回数が偶数の場合は同じ色に，奇数の場合は異なる色になります。
以上から，環状グラフの全ての頂点が白の時，全ての辺は同じ色でなければなりません。
操作2を青い辺にb回，赤い辺にr回適用した場合，環状グラフの青い辺は2r-b+2本，赤い辺は2b-r本残ります。
どちらかの色の辺が0本の場合のみ全ての頂点が白くなり，それはb=2r+2またはr=2bの場合に限られます。
環状グラフの頂点の数はb+r+2個，これに対応する棒状の可能グラフの頂点の数nはb+r+1個なので，
n=3r+3またはn=3b+1を満たさなければなりません。これは元の条件と一致しています。

以上で必要条件も証明できるはずだと思います。

頭の中で解くのにだいたい1時間半かかりましたが、試験としては時間をかけすぎですね。
リンク先の記事で、突然解けと言われて1日掛かったのは大学教授でもそんなものだと思いますが、
東大入試問題の模範解答を作ろうと身構えていた予備校講師（多分複数）が数日掛けても
解けなかったというのはいかがなものかと思いました。

okky氏の元の回答では、ランダムな数字について、個々の値が誰のものかは
分からなかったとしても、全ての値の集合としては分かってしまいます。
すると、各教授の申請した値から各教授の給与の取りうる値（特に上限と下限）が
分かってしまうので、このままだと題意に合わないのではないかと思います。

少し修正して次のようにすると概ね題意を満たすのではないかと思います。

まず各教授に、ランダムな数字（負でもよい）を1つ考えてもらう。
各自その考えた数字と自分の給料を加えた値を他の人に聞こえないように（例えば右）隣の人に伝える。
各自（例では左）隣の人から聞いた値から自分が最初に考えた数字を減じた値を紙に書く。
紙を回収してよく混ぜ、書かれた数字を全部足しあわせて人数で割ると、平均値が出る。

ランダムな数字はランダムな結果としてであればたまたまごく小さい値（たとえば0）を
使うことになっても構わないと思います。他人に意図を読み取られない自信があれば
ランダムではなく恣意的な値をつかっても構いません。

あと、制約条件としてはokky氏の示したものに加えて、紙に書いた文字の筆跡で
誰が書いたか特定されないという条件が必要なのではないでしょうか。

他のコメントでも挙げられている3Dコンソーシアムのガイドラインの資料で分かることは
3歳未満の幼児は立体視ができないので3D表示画像を見せても無駄ということだけだ。
3～6歳ごろまでに立体視ができるようになるのは示されているが、それはそこで立体視の
発達が完了することは意味しない。むしろ成人まで両眼の間隔が徐々に広がっていくことに
対応しなければならないことから、その時期まで機能発達が継続すると見た方がよいだろう。

残念ながら3Dコンソーシアムのガイドラインではその辺は全く触れられていない。
実際問題としてそこの知見を得るのは実際に使わせてみないと無理なのだろう。
尤も、印刷物の立体視画像には近視などに対して幾らかの改善をもたらしたという
事例もあるようなので、ソフトの出来しだいで毒にも薬にもという辺りが私の予想だ。

しかし、3DSの問題はそこじゃない。
上記の話はあくまで正しい位置で3D画像を見た場合の議論でしかない。

DSで遊んでいる子供達を観察すると分かるが、複数の子供がいる状態でDSを使うと
プレイしている以外の子供がいっしょに画面を覗き込んでいる時間がかなりある。
この時脇から覗き込んでいる子供は決して正しい位置で画像を見ていないし、
プレイしている子供も覗き込んでいる子供のために少し脇に寄っていると
これも正しくない位置で画像を見てしまうことになる。

3Dテレビと違って画面までの距離が短い3DSでは頭半分のずれでも致命的である。
丁寧に視覚深度を制限して視差を設定した優良なソフトであっても、斜めから
見られては意味がない。安全なはずの画像が、いつの間にか立体視機能に
不必要なストレスをかけてしまう可能性は否定できない。

残念ながら視聴位置については任天堂の告知のページには何も記載がない。
この状況下で大人の方にどの程度の認識があるかも怪しいのに、
小中学生が正しい判断をして覗き込みを断るなんてとても期待できない。

願わくば3DSが視聴位置を少しでも外れると画像が見えなくなるようデザイン
されているとよいのだが、それはそれで文句がでるのだろうなぁ。

> 当たり前の話だが、平常時に混んでいる道路と空いている道路では、空いている道路の方が多い。

ここの仮定は誤っているのでは？

> はっきり言ってほとんどの場所が混雑しているなら、都市計画的に間違った状態だ。

首都圏の道路交通網は「都市計画的に間違った状態」なんですよ。

# なんせ国交省の担当者が「今の知識でやるならこうはしなかった」と言ったぐらいだし。

実像との違いと言ったら焦点距離が一定なことかな。
これに対応するには光源が実際に三次元空間に配置されるか、
各眼球の状態をしらべてそれに対応した画像を出せないとだめかも。

慣れれば問題ないけど、不慣れな人はこれで酔ってしまう。
あと、視覚の発達しきっていない幼児が見つづけると焦点が
ずれたまま成長してしまい、将来の視力低下の原因になったりする。
なので、3DSとかはかなりヤバいよね。

私は某ジブリ作品を思い出しました。同じキャラクターを使った派生作品の形で
三鷹の森ジブリ美術館の土星座で15分ぐらいの小品として放映されてそう。

６×９＝４２とか？

仰りたいことはわかりました。

それならおそらくその議論では「濃い・薄い」は不要であって、「藍色は青色だ」
及び「青色は藍色だ」の二つの表現が言えるかについて述べるべきでしょう。
これなら前者は言えて後者が言えないのが明確で、その理由が二つの語が
上位語・下位語の関係にある為だと分かるはずです。
なぜこの二つの表現が説明の中で出てこなかったのかがよく分かりません。

いったんこれを明確にしてしまえば、前者を正しく修飾した表現は正しいままで、
後者を修飾した表現は（その修飾が正しくても）正しくならないことが分かります。
その上で典型性の話をするならそれはそれで良いと思うのですが。

他の部分は置いとくとして、青色と藍色の話ですが、上位語かどうかという問題ではないです。
「色が濃い」という表現は、「彩度が高い」と「明度が低い」の二つの意味で用いられ、
場合によってはこの二つの概念は相反してしまっています。
例えば、青色は藍色より濃いと言った場合、青色は藍色より彩度が高い意味で用いられていますし、
藍色は青色より濃いと言った場合、藍色は青色より明度が低い意味で用いられています。

本来の意味は「彩度が高い」方なので、青色は藍色より濃い、藍色は青色より淡いという表現に
なるはずです。「明度が低い」方は暗いと表現すべきですが、黒い色（に近い色）が濃い
（従って暗い）という意味で濃いと表現してしまう人も少なくありません。

基本色より明度が高い範囲では「彩度が低い」と「明度が高い」の方向が概ね一致するので、
「色が薄い」という表現は、「彩度が低く明度が高い」という意味で使われてしまいます。
青色は藍色より薄いという表現がしっくりこないのはこのためだと思います。

ちなみにちゃんと明度を表す言葉を補ってあげれば青色は藍色より明るく濃い、藍色は青色より
薄暗いとなるので、普段は濃い＝明度が低い派の人でも違和感がなくなるはずです。

今回のネタはそっちの原則じゃなくて「熱が出ると困る」という原則の方を
なんとかできるんじゃないかという話ですよ。

今現在の技術での実現性は確かに無さそうだけど、「熱が出ないと困る」という
デバイスも（真空管や白熱球みたいに）理論上有り得ないというわけでもないし、
きっと「演算させると熱が出る」を覆すよりはハードルが低いよね。

なので、何の可能性も言及せずにいきなり不可能と言い切っちゃうのはどうかと。

# いや、どうせ覆すなら「データセンターでは演算させる」の方を……。