U⊂R^nを開集合とする。(L^p(U),||・||_{L^p(U)})はノルム空間であることを証明せよ。

写像f:R^n→Rを次のように定義する。

f(x) = ||x||^a (a∈R)

とするとき、fがL^p空間に属する条件を求めよ。

可測関数f:U→R∪{∞,-∞}に対して、

ess sup f(x) (x∈U) = inf{a∈R∪{∞} | ほとんどすべてのx∈Uでf(x)≦a}

ess inf f(x) (x∈U) = sup{a∈R∪{∞} | ほとんどすべてのx∈Uでf(x)≧a}

と定義する。ess sup f(x)を本質的上限、ess inf f(x)を本質的下限という。

さらに、

||f||_{L^∞(U)} = ess sup |f(x)| (x∈U)＜ ∞

と定義して、L^∞(U)を||f||_{L^∞(U)}＜∞を満たす可測関数の同値類の集合とする。

ここからが問題である。

(1) ||f||_{L^∞(U)} ≧ 0
(2) ||f||_{L^∞(U)} = 0 ⇔ fが零関数

であることを証明せよ。

U⊂R^nを開集合とする。p≧1 (p∈R)とする。

L^p(U) = {可測関数f:U→R∪{∞,-∞},|f|^pがU上可積分である関数の同値類}

と定義する。f∈L^p(U)であるとき、

||f||_{L^p(U)} = (∫|f(x)|^p dx)^(1/p)

と定義する。

これをさらに拡張して、写像F=(f1,...,fm):U→(R∪{∞,-∞})^mについても考える。
ただし、f1,...,fm∈L^p(U)とする。このとき、

||F||_{L^p(U)} = (Σ(||fi||_{L^p(U)})^p (i:1～m))^(1/p)

と定義する。

ここからが問題である。

上の定義において、任意のf∈L^p(U)について、

(1) ||f||_{L^p(U)} ≧ 0
(2) ||f||_{L^p(U)} = 0 ⇔ fは零関数

であることを証明せよ。

R^3から極座標に変換する変換公式について考察せよ。

R^2から極座標へ変換する変換公式について考察せよ。

U⊂R^nを開集合とする。単射な連続写像f:U→R^nとする。
D⊂Uとなる任意の立方体Dについて、

Vol(f(D)) = ∫d_f(x) dx (積分範囲:D)

となるとき、fは「密度関数d_fを持つ」という。

ここからが問題である。

U,V⊂R^nを開集合とする。同相写像f:U→Vが密度関数d_fを持つとする。
写像g:V→R∪{∞,-∞}が可積分であるとき、

g(f(x))*d_f(x)

もU上可積分で、

∫g(y) dy (積分範囲:f(U)) = ∫g(f(x))*d_f(x) dx (積分範囲:U)

であることを証明せよ。

U⊂R^nを開集合とする。単射な連続写像f:U→R^nが測度微分

Δ_f(x) (x∈U)

を持つとする。Δ_fがUの任意のコンパクト集合上有界であるとき、
Dの閉包がUに含まれる任意の閉または開立方体Dで、

Vol(f(D)) = ∫Δ_f(x) dx (積分範囲:D)

であることを証明せよ。

点x0を含み、一辺の長さが0に収束する任意の開または閉立方体の列{Dn}について、

lim Vol(f(Dn))/Vol(Dn) (n→∞) = Δ_f(x0)

となるとき、fはx0で「測度微分Δ_f(x0)を持つ」という。

ここからが問題である。

fが測度微分Δ_f(x)を閉立方体D上の各点で持ち

Δ_f(x) ≦ c (∃c∈R)

であるとする。このとき、任意の立方体D'⊂Dで、

Vol(f(D'))/Vol(D') ≦ c

であることを証明せよ。

U,V⊂R^nを開集合とする。写像f:U→Vが微分同相写像であるとする。
写像g:V→R∪{∞,-∞}が可積分であることの必要十分条件は、

(g・f)*|det Df|

がU上可積分であることである。
また、このとき、

∫g(y) dy (積分範囲:f(U)) = ∫g(f(x))*|det Df(x)| dx (積分範囲:U)

であることを証明せよ。