15進数でやってみようと試行錯誤した結果。
スマートにならなかった気もする。

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#!/bin/bash
i=1
j=1
n=( fizzbuzz '' '' fizz '' buzz fizz '' '' fizz buzz '' fizz '' '' )

while [ $i -le 100 ]; do
        echo ${n[j]:-${i}}
        i=$(($i+1))
        j=$(($j+1))
        if [ $j -eq 15 ]; then
                j=0
        fi
done